Потери в FDTD

Диэлектрики следуют той же модели Джорджевича-Саркары, что и 2D-решатель (их er и loss_tangent берутся при 1 ГГц), в виде набора полюсов Дебая, логарифмически распределенных от одной тридцатой минимальной частоты до тридцати крат максимальной, с одним током поляризации на каждый полюс на каждом крае диэлектрика (в пределах 3% от тангенса угла потерь модели и 0.01 от ее er в полосе). Поэтому потери растут с частотой, как положено, и на микролинии 50 Ом они укладываются в 4% от формулы фактора заполнения Хаммерстада при 1.5, 2.2 и 3 ГГц. Края, несущие порт, дискретный элемент или медь, сохраняют проводимость, фиксированную в центре полосы. Медные слои представляют собой пластины с поверхностным импедансом, изменяющимся с частотой, поэтому и сопротивление, и внутренняя индуктивность следуют скин-эффекту, шероховатости и покрытию в полосе, обновляясь неявно, чтобы пластина оставалась стабильной на любом шаге времени. Пластина нулевой толщины имеет один ток, тогда как реальная медь проводит его на двух поверхностях, поэтому каждый край пластины отслеживает магнитное поле непосредственно над и под ним в ходе выполнения и берет свой импеданс как (Jtop^2 Ztop + Jbottom^2 Zbottom) / (Jtop + Jbottom)^2: половина импеданса поверхности для центральной стриплинии, близко к импедансу нижней поверхности для дорожки над плоскостью.

У каждой поверхности свой поверхностный импеданс, функция частоты:

• Медная поверхность представляет собой медную пластину толщиной слоя, sqrt(j w mu rho) coth(gamma t), которая при постоянном токе стремится к rho / t, умноженную на шероховатость стека слоёв как причинный комплексный фактор (Дмитриев-Здоров, Симонович и Кочиков, "A Causal Conductor Roughness Model and its Effect on Transmission Line Characteristics", DesignCon 2018, таблица 1). Ее диссипативная часть точно соответствует формуле Хаммерстада-Йенсена 1 + (2/pi) atan(1.4 (rms / глубина скин-эффекта)^2) или формуле Хурая 1 + 1.5 ratio / (1 + d/a + d^2 / 2a^2) на каждой частоте, и та же функция добавляет индуктивность, требуемую причинностью.
• При finish = "ENIG" поверхности внешних слоев, обращенные от платы, представляют собой золото поверх никеля поверх медной пластины, где каждый металл является участком линии передачи со своим импедансом sqrt(j w mu rho) и толщиной. Под слоем маски стека покрываются только контактные площадки. Никель представляет собой гальванический никель, идентифицированный Шлепневым и Макморроу по измерениям микролинии ENIG ("Nickel characterization for interconnect analysis", IEEE EMC Symposium 2011): удельное сопротивление 1.0e-7 Ом м и проницаемость Ландау-Лифшица, падающая с 6 до 2 через резонанс при 2.6 ГГц с затуханием 0.18 f0. Золото имеет удельное сопротивление 2.44e-8 Ом м. При стандартных 4.5 мкм никеля и 0.075 мкм золота сопротивление покрытой поверхности в 6-8 раз выше, чем у гладкой меди, от 0.3 до 3 ГГц, с пиком на резонансе, и примерно в 3 раза от 6 до 40 ГГц. Поверхности, обращенные к диэлектрику, остаются шероховатой медью, и покрытая поверхность не учитывает шероховатость.

Каждая отдельная грань (для каждой толщины меди) аппроксимируется общим набором из примерно 24 полюсов методом векторной аппроксимации (Gustavsen и Semlyen, IEEE Trans. Power Delivery 14(3), 1999) от тысячной части центра полосы до 100-кратного значения верхней частоты (в пределах 0,02 % от функций выше для центра полосы 20 ГГц) и приводится к пассивной, если аппроксимация уходит ниже нуля где-либо, повышением последовательного сопротивления. Кромка листа добавляет одно состояние на каждый вещественный полюс и одно комплексное состояние на каждую пару полюсов, общих для обеих его граней, по трапециевидному правилу, так что дискретный лист является билинейным образом аппроксимированного импеданса (воспроизведение таблицы на CPU совпадает с ним с точностью 5e-6).

Сетка размещает кромку нулевой толщины примерно на треть ячейки за последней линией сетки, поэтому полоса, нарисованная на сетке, читается шире, чем есть на самом деле, а реальная медь толщиной t читается ещё шире на (t / 2 pi)(1 + ln(4h / t)) на каждую кромку, где h - расстояние до ближайшего другого медного слоя (поправка Hammerstad-Jensen на толщину). Мешер задаёт последнюю линию каждой кромки проводника, контактной площадки и полигона так, чтобы обе совпали: собственный сдвиг сетки получается из решения методом конечных разностей для щели на форме локальной ячейки. Микрострип 0,3 мм на 0,15 мм воздуха читается 81,9 и 82,2 Ом на ячейках 0,05 и 0,025 мм против 82,4 Ом по Hammerstad-Jensen с медью 35 мкм; рисование кромок на линиях сетки давало 82,6 и 85,1.

Сжатие тока у кромки проводника уже ячейки, поэтому ячейки в пределах четырёх от кромки получают своё сопротивление из решения для тонкой полоски у кромки: то же решение для щели показывает, сколько тока сетка кладёт в каждую ячейку, а потери каждой полосы - это интеграл по тонкой полоске, обрезанный у кромки (метод расстояния остановки Lewin и Vainshtein). Для квадратной кромки толщиной t это расстояние t e^-pi / (4 pi), из конформного отображения кромки пластины в пределе сильного скин-эффекта. Микрострип 0,3 мм на 3,5 ГГц читается 11 %, 3 % и 0,5 % против 2D-решателя полей на ячейках 0,1, 0,05 и 0,025 мм, а стриплайн 0,2 мм - 3 % на 0,05 мм.