Perdite nel FDTD

I dielettrici seguono lo stesso modello Djordjevic-Sarkar del solver 2D (il loro er e loss_tangent presi a 1 GHz), come un insieme di poli di Debye spaziati in logaritmo da un trentesimo della frequenza più bassa a trenta volte la più alta, una corrente di polarizzazione per polo su ogni bordo dielettrico (entro il 3% del loss tangent del modello e 0,01 del suo er su tutta la banda). La perdita cresce quindi con la frequenza come dovrebbe, e su una microstrip da 50 ohm si colloca entro il 4% della formula di riempimento di Hammerstad a 1,5, 2,2 e 3 GHz. I bordi che portano un port, un componente concentrato o rame mantengono una conduttività fissa al centro della banda invece. Gli strati di rame sono fogli con un'impedenza superficiale che varia con la frequenza, quindi sia la resistenza che l'induttanza interna seguono l'effetto pelle, la rugosità e la finitura su tutta la banda, aggiornati implicitamente in modo che il foglio resti stabile a qualsiasi passo temporale. Un foglio a spessore zero ha una corrente, mentre il rame reale la porta su due facce, quindi ogni bordo di foglio traccia il campo magnetico appena sopra e sotto di esso durante l'esecuzione e prende la sua impedenza come (Jtop^2 Ztop + Jbottom^2 Zbottom) / (Jtop + Jbottom)^2: metà dell'impedenza della faccia per una stripline centrata, vicina a quella della faccia inferiore per una pista sopra un piano.

Ogni faccia ha la sua impedenza superficiale, una funzione della frequenza:

• Una faccia di rame è una lastra di rame dello spessore dello strato, sqrt(j w mu rho) coth(gamma t), che si stabilizza a rho / t in DC, moltiplicata per la rugosità dello stackup come fattore complesso causale (Dmitriev-Zdorov, Simonovich e Kochikov, "A Causal Conductor Roughness Model and its Effect on Transmission Line Characteristics", DesignCon 2018, tabella 1). La sua parte di perdita è esattamente la 1 + (2/pi) atan(1.4 (rms / skin depth)^2) di Hammerstad-Jensen o la 1 + 1.5 ratio / (1 + d/a + d^2 / 2a^2) di Huray a ogni frequenza, e la stessa funzione aggiunge l'induttanza che la causalità richiede.
• Con finish = "ENIG" le facce degli strati esterni che si allontanano dalla scheda sono oro su nichel su lastra di rame, con ogni metallo che forma una sezione di linea di trasmissione con la propria impedenza sqrt(j w mu rho) e lo proprio spessore. Sotto uno strato di solder mask dello stackup vengono placcate solo le piazzole. Il nichel è il nichel placcato identificato da Shlepnev e McMorrow dalle misurazioni di microstriscia ENIG ("Nickel characterization for interconnect analysis", IEEE EMC Symposium 2011): resistività 1.0e-7 ohm m e una permeabilità Landau-Lifshitz che scende da 6 a 2 attraverso una risonanza a 2.6 GHz con smorzamento 0.18 f0. L'oro è 2.44e-8 ohm m. Con i 4.5 um di nichel e 0.075 um di oro predefiniti, la faccia placcata ha una resistenza da 6 a 8 volte superiore a quella del rame liscio da 0.3 a 3 GHz, con un picco alla risonanza, e circa 3 volte superiore da 6 a 40 GHz. Le facce a contatto con un dielettrico restano rame ruvido, e la faccia placcata non subisce la rugosità.

Ogni faccia distinta (per spessore di rame) viene approssimata con un insieme comune di circa 24 poli tramite vector fitting (Gustavsen e Semlyen, IEEE Trans. Power Delivery 14(3), 1999), da un millesimo della frequenza centrale della banda a 100 volte la frequenza superiore (entro lo 0,02% delle funzioni sopra per una frequenza centrale di 20 GHz) e resa passiva aumentando la resistenza in serie se l'approssimazione scende sotto zero in qualche punto. Il bordo del foglio aggiunge uno stato per ogni polo reale e uno stato complesso per ogni coppia di poli, condiviso tra le sue due facce, con la regola trapezoidale, in modo che il foglio discreto sia l'immagine bilineare dell'impedenza approssimata (una rielaborazione CPU della tabella la riproduce con un errore di 5e-6).

Una griglia posiziona un bordo di spessore nullo a circa un terzo di cellula oltre l'ultima linea di mesh, quindi una striscia disegnata sulla griglia risulta più larga di quanto sia in realtà, e il rame reale di spessore t risulta ancora più largo di (t / 2 pi)(1 + ln(4h / t)) per bordo, dove h è la distanza dal layer di rame più vicino (correzione di spessore Hammerstad-Jensen). Il mesher imposta l'ultima linea di ogni traccia, piazzola e bordo di area di rame in modo che i due coincidano: lo sfasamento della griglia stessa deriva da una soluzione a differenze finite di una fessura sulla forma locale della cellula. Una microstriscia da 0,3 mm su 0,15 mm d'aria misura 81,9 e 82,2 ohm con celle da 0,05 e 0,025 mm, contro gli 82,4 ohm di Hammerstad-Jensen con rame da 35 um; disegnare i bordi sulle linee di mesh dava 82,6 e 85,1.

L'accumulo di corrente al bordo di una traccia è più stretto di una cellula, quindi le celle entro quattro da un bordo prendono la loro resistenza dalla soluzione del bordo di striscia sottile: la stessa soluzione della fessura indica quanta corrente la griglia mette in ogni cella, e la perdita di ogni banda è l'integrale della striscia sottile troncato al bordo (metodo della distanza di arresto di Lewin e Vainshtein). Per un bordo quadrato di spessore t quella distanza è t e^-pi / (4 pi), da una mappa conforme del bordo della lastra nel limite di forte effetto pelle. La microstriscia da 0,3 mm a 3,5 GHz misura 11%, 3% e 0,5% rispetto al solver di campo 2D con celle da 0,1, 0,05 e 0,025 mm, e una stripline da 0,2 mm misura 3% a 0,05 mm.