FDTD 中的损耗

电介质遵循与 2D 求解器相同的 Djordjevic-Sarkar 模型（其 er 和 loss_tangent 在 1 GHz 处取值），作为一组德拜极点，从最低频率的三十分之一对数间隔到最高频率的三十倍，每个电介质边缘每个极点一个极化电流（在整个频带内与模型的损耗角正切相差 3% 以内，与 er 相差 0.01 以内）。因此损耗随频率增长的方式是正确的，在 50 欧姆微带线上，在 1.5、2.2 和 3 GHz 处落在 Hammerstad 填充因子公式的 4% 以内。承载端口、集总元件或铜的边缘保持固定在频带中心的电导率。铜层是具有随频率变化的表面阻抗的片，因此电阻和内部电感在整个频带内遵循趋肤效应、粗糙度和表面处理，隐式更新以使片在任何时间步长下保持稳定。零厚度片有一个电流，而实际铜在两个面上承载它，因此每个片边缘在整个运行中跟踪其上方和下方的磁场，并取其阻抗为 (Jtop^2 Ztop + Jbottom^2 Zbottom) / (Jtop + Jbottom)^2：中心带状线取面阻抗的一半，平面上的走线接近底面的。

每个面有其自身的表面阻抗，是频率的函数：

• 铜面是层厚度的铜板，sqrt(j w mu rho) coth(gamma t)，在直流下稳定为 rho / t，乘以叠层粗糙度作为因果复数因子（Dmitriev-Zdorov, Simonovich 和 Kochikov, “A Causal Conductor Roughness Model and its Effect on Transmission Line Characteristics”, DesignCon 2018, 表 1）。其损耗部分在每个频率上精确为 Hammerstad-Jensen 1 + (2/pi) atan(1.4 (rms / 趋肤深度)^2) 或 Huray 1 + 1.5 比率 / (1 + d/a + d^2 / 2a^2)，同一函数添加因果性所要求的电感。
• 当 finish = "ENIG" 时，外层背离电路板的面是铜板上的镍上的金，每种金属是其自身阻抗 sqrt(j w mu rho) 和厚度的传输线段。在叠层掩膜层下，只有焊盘被镀层。镍是 Shlepnev 和 McMorrow 从 ENIG 微带测量中识别的镀镍（“Nickel characterization for interconnect analysis”, IEEE EMC Symposium 2011）：电阻率 1.0e-7 欧姆米，兰道-利夫希茨磁导率从 6 通过 2.6 GHz 的共振下降到 2，阻尼 0.18 f0。金是 2.44e-8 欧姆米。使用默认的 4.5 微米镍和 0.075 微米金，镀层面在 0.3 到 3 GHz 之间的电阻是光滑铜的 6 到 8 倍，在共振处达到峰值，在 6 到 40 GHz 之间约为 3 倍。面对电介质的面保持粗糙铜，镀层面不取粗糙度。

每个不同的面（按铜厚区分）通过矢量拟合（Gustavsen 和 Semlyen，IEEE Trans. Power Delivery 14(3)，1999）拟合出一组约 24 个极点，拟合范围从频带中心的千分之一到最高频率的 100 倍（对于 20 GHz 的频带中心，拟合结果与上述函数的偏差在 0.02% 以内），并通过提高串联电阻使拟合结果在任意位置都不低于零，从而保证无源性。片状边缘每遇到一个实极点增加一个状态，每遇到一对复极点增加一个状态，两个面共享这些状态，并采用梯形法则，因此离散片状边缘是拟合阻抗的双线性变换图像（对表格进行 CPU 重放，误差为 5e-6）。

网格在距最后一条网格线约三分之一单元处放置一个零厚度边缘，因此在网格上绘制的带状线比实际更宽，而厚度为 t 的实际铜线在每个边缘处又因 (t / 2 pi)(1 + ln(4h / t)) 而显得更宽，其中 h 是到最近其他铜层的距离（Hammerstad-Jensen 厚度修正）。网格生成器设置每条走线、焊盘和铺铜边缘的最后一条网格线，使两者重合：网格自身的偏移量来自对局部单元形状上狭缝的有限差分求解。在 0.15 mm 空气介质上的 0.3 mm 微带线，在 0.05 和 0.025 mm 单元下分别读数为 81.9 和 82.2 欧姆，而使用 35 um 铜厚的 Hammerstad-Jensen 公式计算结果为 82.4 欧姆；若将边缘绘制在网格线上，读数则为 82.6 和 85.1 欧姆。

走线边缘处的电流拥挤效应窄于一个单元，因此距离边缘四个单元以内的单元其电阻取自细带状线边缘解：同样的狭缝求解给出网格在每个单元中注入的电流，每个频带的损耗则是截断至边缘的细带状线积分（Lewin 和 Vainshtein 的停止距离法）。对于厚度为 t 的方形边缘，该距离为 t e^-pi / (4 pi)，由强趋肤效应极限下板边缘的保形映射得出。在 3.5 GHz 下，0.3 mm 微带线在 0.1、0.05 和 0.025 mm 单元下相对于 2D 场求解器的误差分别为 11%、3% 和 0.5%，0.2 mm 带状线在 0.05 mm 单元下误差为 3%。